RD SHARMA SOLUTION CHAPTER –7 Factorization | CLASS 8TH MATHEMATICS-EDUGROWN

Exercise 7.1

Find the greatest common factors (GCF / HCF) of the following polynomials : (1 – 14)

Question 1.
2x² and 12x²
Solution:
2x² and 12x²
HCF of 2 and 12 =2
HCF of x²,x²=x²
∴ HCF = 2x²

Question 2.
(6xy³ and 18x²y³
Solution:
6x³y and 18xy
HCF of 6, 18 = 6
HCF of x³ and x² = x²
HCF of y and y³ -y
∴ HCF = 6x²y

Question 3.
7x, 21x² and 14xy²
Solution:
7x, 21x² and 14xy²
HCF of 7, 21 and 14 = 7
HCF of x, x², x = x
∴ HCF = 7x

Question 4.
42x²yz and 63x³y²z³
Solution:
42x²yz and 63x³y²z³
HCF of 42 and 63 = 21
HCF of x², x³ = x²
HCF of y,y²=y
HCF of z,z³ = z
∴ HCF = 21 x²yz

Question 5.
12ax²,6a²x³ and 2a³ x⁵
Solution:
12ax², 6a²x³ and 2a³x⁵
HCF of 12, 6,2 = 2
HCF of a, a², a³ = a
HCF of x², x³, x⁵ = x²
∴ HCF = 2ax²

Question 6.
9x², 15x²y³, 6xy² and 21x²y²
Solution:
9x², 15xV, 6xy² and 21x²y²
HCF of 9, 15, 6,21 = 3
HCF of x², x², x, x² = x
HCF of 1, y³, y², y² =2
∴ HCF = 3x

Question 7.
4a²b³ -12a³b, 18a⁴b³
Solution:
4a²b³, -12a³b, 18a⁴b³
HCF of 4, 12, 18 = 2
HCF of a², a³, a⁴ = a²
HCF of b³,b, b³ = b
∴ HCF = 2a²b

Question 8.
6x²y², 9xy³, 3x³y²
Solution:
6x²y², 9xy³, 3x³y²
HCF of 6, 9, 3 = 3
HCF of x², x, x³ = x
HCF of y²,y³,y²=y²
∴ HCF = 3xy²

Question 9.
a²b³, a³b²
Solution:
a²b³, a³b²
HCF of a², a³ = a²
HCF of b³, b² = b²
∴ HCF = a²b²

Question 10.
36a²b²c⁴, 54a⁵c²,90a⁴b²c²
Solution:
36a²b²c⁴, 54a⁵c²,90a⁴b²c²
HCF of 36, 54, 90 = 18
HCF of a², a⁵, a⁴ = a²
HCF of b², 1,b²= 1
HCF of c⁴,c²,c² = c²
∴ HCF = 18a² x 1 x c² = 18a²c²

Question 11.
x³, – yx²
Solution:
x³, – yx²
HCF of x³, x² = x²
HCF of 1, y= 1
∴ HCF = x²

Question 12.
15a³, -45a², -150a
Solution:
15a³,-45a²,-150a
HCF of 15,45, 150 = 15
HCF of a³, a², a = a
∴ HCF = 15a

Question 13.
2x³y², 10x²y³, 14xy
Solution:
2x³y², 10x²y³, 14xy
HCF of 2, 10, 14 = 2
HCF of x³, x², x = x
HCF of y²,y³,y=y
∴ HCF = 2xy

Question 14.
14x³y⁵, 10x⁵y³, 2x²y²
Solution:
14x³y⁵, 10x⁵y³, 2x²y²
HCF of 14, 10, 2, = 2
HCF of x³, x⁵, x² = x²
HCF of y⁵,y³,y²=y²
∴ HCF = 2xy

Find the greatest common factor of the terms in each of the following expressions:

Question 15.
5a⁴ + 10a³ – 15a²
Solution:
5a⁴ + 10a³– 15a²
HCF of 5, 10, 15 = 5
HCF of a⁴, a³, a² = a²
∴ HCF = 5a²

Question 16.
2xyz + 3x²y + 4y²
Solution:
2xyz + 3x²y + 4y²
HCF of 2, 3,4 = 1
HCF of x, x², 1 = 1
HCF of y,y,y² =y
HCF of z, 1, 1 = 1
∴ HCF = y

Question 17.
3a²b² + 4b²c² + 12a²b²c²
Solution:
3a²b² + 4b²c² + 12a²b²c²
HCF of 3, 4, 12 = 1
HCF of a², 1, a² = 1
HCF of b², b², b² = b²
HCF of 1, c², c² = 1
∴ HCF = b²

Exercise 7.2

Factorize the following :

Question 1.
3x-9
Solution:
3x – 9 = 3 (x – 3)        (HCF of 3, 9 = 3)

Question 2.
5x – 15x²
Solution:
5x- 15x² = 5x (1 – 3x)
{HCF of 5, 15 = 5 and of x, x² = x}

Question 3.
20a¹²b² – 15a⁸b⁴
Solution:
20a¹²b² – 15a⁸b⁴
{HCF of 20, 15 = 5, a¹², a⁸ = a⁸, b², b⁴ = b²}
= 5a⁸ b²(4a⁴ – 3b²)

Question 4.
72xy – 96x⁷y⁶
Solution:
72xy – 96x⁷y⁶
HCF of 72, 96 = 24 of x⁶x⁷ = x⁶, y⁷,y⁶ = y⁶
∴ 72x⁷y⁶ – 96x⁷y⁶ = 24x⁶y⁶ (3y – 4x)

Question 5.
20X³ – 40x² + 80x
Solution:
20x³ – 40x² + 80x
HCF of 20, 40,80 = 20
HCF of x³, x², x = x
∴ 20x³ – 40x² + 80x = 20x (x² – 2x + 4)

Question 6.
2x³y² – 4x²y³ + 8xy⁴
Solution:
2x³y² – 4x²y³ + 8xy⁴
HCF of 2, 4, 8 = 2
HCF of x³, x², x = 1
and HCF of y², y³, y⁴ = y²
∴ 2x³y² – 4x²y³ + 8xy⁴
= 2xy² (x² – 2xy + 4y²)

Question 7.
10m³n² + 15m⁴n – 20m²n³
Solution:
10m³n² + 15m⁴n – 20m²n³
HCF of 10, 15, 20 = 5
HCF of m³, m⁴, m² = m²
HCF of n², n, n³ = n
10m³n² + 15m⁴n – 20m²n³
5m²n(2mn + 3m²– 4n²)

Question 8.
2a⁴b⁴ – 3a³b⁵ + 4a²b⁵
Solution:
2a⁴b⁴ – 3a³b⁵ + 4a²b⁵
HCF of 2, 3, 4= 1
HCF of a⁴, a³, a² = a²
HCF of b⁴, b⁵ b⁵ = b⁴
∴ 2a⁴b⁴ – 3a³b⁵ + 4a²b⁵ = a²b⁴
(2a² – 3ab + 4b)

Question 9.
28a² + 14a²b² – 21a⁴
Solution:
28a² + 14a²b² – 21a⁴
HCF of 28, 14,21 =7
HCF of a², a², a⁴ = a²
HCF of 1, b², 1 = 1
∴ 28a² + 14a²b²-21a⁴ = 7a²
(4 + 2b² – 3a²)

Question 10.
a⁴b – 3a²b² – 6ab³
Solution:
a⁴b – 3a²b² – 6ab³
HCF of 1,3,6 = 1
HCF of a⁴, a², a = a
HCF of b, b², b³ = b
∴ a⁴b – 3a²b² – 6ab³ = ab (a³ – 3ab – 6b²)

Question 11.
2l²mn – 3lm²n + 4lmn²
Solution:
2l²mn – 3lm²n + 4lmn²
HCF 2, 3,4 = 1,
HCF of l²,l,l = l
HCF of m, m², m = m
HCF of n, n, n² = n
∴ 2l² mn – 3lm²n + 4lmn²
= lmn (21 -3m + 4n)

Question 12.
x⁴y² – x²y⁴ – x⁴y⁴
Solution:
x⁴y² – x²y⁴ – x⁴y⁴
HCF of x⁴, x², x⁴ = x²
HCF of y², y⁴, y⁴ =y²
∴ x⁴y² – x²y⁴ – x⁴y⁴ = x²y² (x² -y² -x²y²)

Question 13.
9 x²y + 3 axy
Solution:
9 x²y + 3 axy
HCF of 9, 3 = 3
HCF of x², x = x
HCF of y,y = y
HCF of 1,a = 1
∴ 9x²y + 3axy = 3xy (3x + a)

Question 14.
16m – 4m²
Solution:
16m – 4m²
HCF of 16, 4 = 4
HCF of m, m² = m
∴ 16m – 4m² = 4m (4 – m)

Question 15.
-4a² + 4ab – 4ca
Solution:
-4a² + 4ab – 4ca
HCF of 4, 4, 4 = 4
HCF of a², a, a = a
∴ -4a² + 4ab – 4ca = -4a (a – b + c)

Question 16.
^{x2yz + xy2z + xyz2}
Solution:
x²yz + xy²z + xyz²
HCF of x², x, x = x
HCF of y,y²,y=y
HCF of z, z,z² = z
∴ x²yz + xy²z + xyz² = xyz (x + y + z)

Question 17.
ax²y + bxy² + cxyz
Solution:
ax²y + bxy² + cxyz
HCF of x², x, x = x,
HCF of y,y²,y = y
ax²y + bxy² + cxyz = xy (ax + by + cz)

Exercise7.3

Factorize each of the following algebraic expressions.

Question 1.
6x (2x – y) + 7y (2x – y)
Solution:
6x (2x – y) + 7y (2x – y)
= (2x – y) (6x + 7y)
[∵ (2x – y) is common]

Question 2.
2r (y – x) + s (x – y)
Solution:
2r (y – x) + s (x – y)
-2r (x – y) +s (x – y)
= (x – y) (-2r + s)                   [(x – y) is common]
= (x-y) (s-2r)

Question 3.
7a (2x – 3) + 2b (2x – 3)
Solution:
7a (2x – 3) + 3b (2x – 3)
= (2x – 3) (7a + 3b)               [(2x – 3) is common]

Question 4.
9a (6a – 5b) – 12a² (6a – 5b)
Solution:
9a (6a – 5b) – 12a² (6a – 5b)
HCF of 9 and 12 = 3
∴ 3a (6a – 5b) (3 – 4a)
{(6a – 5b) is common}

Question 5.
5 (x – 2y)² + 3 (x – 2y)
Solution:
5 (x – 2y)² + 3 (x – 2y)
= 5 (x – 2y) (x – 2y) + 3 (x – 2y)
= (x – 2y) {5 (x – 2y) + 3}
{(x – 2y) is common}
= (x – 2y) (5x – 10y + 3)

Question 6.
16 (2l – 3m)² – 12 (3m – 2l)
Solution:
16 (2l – 3m)² – 12 (3m-2l)
= 16 (2l – 3m) (2l – 3m) + 12 (2l – 3m)
HCF of 16, 12 = 4 4 (2l-3m) {4 (2l- 3m) + 3}
{(2l – 3m) is common}
= 4 (2l -3m) (8l- 12m+ 3)

Question 7.
3a (x – 2y) – b (x – 2y)
Solution:
3a (x – 2y) – b (x – 2y)
= (x – 2y) (3a – b)
{(x – 2y) is common}

Question 8.
a² (x + y) + b² (x + y) + c² (x + y)
Solution:
a² (x + y) + b² (x + y) + c² (x + 3’)
= (x + y) (a² + b² + c²)
{(x + y) is common}

Question 9.
(x-y)² + (x -y)
Solution:
(x – y)² + (x- y) = (x – y) (x – y) + (x – y)
= (x – y) (x – y + 1)                          {(a – y) is common}

Question 10.
6 (a + 2b) – 4 (a + 2b)²
Solution:
6 (a + 2b) – 4 (a + 2b)²
= 6 (a + 2b) – 4 (a + 2b) (a + 2b)
HCF of 6, 4 = 2
= 2 {a + 2b) {3 – 2 {a + 2b)
{2 (a + b) is common}
= 2 (a + 2b) (3-2 a- 4b)

Question 11.
a (x -y) + 2b (y – x) + c (x -y)²
Solution:
a (x -y) + 2b (y – x) + c (x -y)²
= a (x – y) – 2b (x – y) + c (x – y) {x – y)
= (x – y) {x – 2b + c (x – y)}
{(a – y) is common}
= (a – y) (a – 2b + cx – cy)

Question 12.
– 4 (a – 2y)² + 8 (a – 2y)
Solution:
– 4 (x – 2y)² + 8 (x – 2y)
= – 4 (x – 2y) (x – 2y) + 8 (x – 2y)
{- 4 (x – 2y) is common}
= – 4 (x – 2y) (x – 2y – 2)
= 4 (x – 2y) (2 – x + 2y)

Question 13.
x³ (a – 2b) + a² (a – 2b)
Solution:
x³ (a – 2b) + x² (a – 2b)
HCF of x³, x² = x^2
∴ x² (a – 2b) (x + 1)
{x² (x – 2b) is common}
= x² (x – 2b) (x + 1)

Question 14.
(2x – 3y) (a + b) + (3x – 2y) (a + b)
Solution:
(2x – 3y) (a + b) + (3x – 2y) (a + b)
= (a + b) {2x – 3y + 3x – 2y}
{(x + b) is common}
= (a + b) (5x – 5y)
= 5 (a + b) (x – y)

Question 15.
4 (x + y) (3a – b) + 6 (a + y) (2b – 3a)
Solution:
4 (x + y) (3a – b) + 6 (a + y) (2b – 3a)
= 4 (x + y) (3a – b) – 6 (x + y) (3a – 2b)
HCF of 4, 6 = 2
= 2 (x + y) {2 (3a – b) – 3 (3a – 2b)}
= 2 (x + 3) {6a – 2b – 9a + 6b}
= 2 (x +y) {-3a + 4b}
= 2 (x + y) (4b – 3a)

Exercise 7.4

Factorize each of the following expressions :
Question 1.
qr-pr + qs – ps
Solution:
qr- pr + qs-ps
Arranging in suitable groups = r(q-p) +s (q-p)    {(q – p) is common}
= (q-p) (r + s)

Question 2.
p²q -pr²-pq + r²
Solution:
p²q -pr²-pq + r2
= p²q -pq-pr² + r² (Arranging in group)
= pq(p- 1)-r²(p-1) {(p – 1) is common}
= (p – 1) (pq – r²)

Question 3.
1 + x + xy + x²y
Solution:
1 + x + xy + x 2y
= 1 (1 + x) +xy (1 +x)
= (1 + x) (1 + xy) {(1 + x) is common}

Question 4.
ax + ay – bx – by
Solution:
ax + ay – bx – by
= a (x + y) – b (x + y)   {(x + y) is coinmon}
= (x+y) (a- b)

Question 5.
xa² + xb² -ya² – yb²
Solution:
xa² + xb² – ya² – yb²
= x (a² + b²) -y (a² + b²)   {(a² + b²) is common}
= {a² + b²) (x -y)

Question 6.
x² + xy + xz + yz
Solution:
x² + xy + xz + yz
= x (x + y) + z(x + y) {(x + y) is common}
= (x + y) (x + z)

Question 7.
2ax + bx + 2ay + by
Solution:
2ax + bx + 2ay + by
= x {2a + b) + y (2a + b)      {(2a + b) is common}
= (2a + b) (x + y)

Question 8.
ab- by- ay +y²
Solution:
ab – by – ay + y²
= b(a-y)-y(a-y)    {(a -y) is common}
= (a-y) (b – y)

Question 9.
axy + bcxy -az- bcz
Solution:
axy + bcxy – az – bcz
= xy (a + bc) – z (a + bc)       {(a + bc) is common}
= (a + bc) (xy – z)

Question 10.
lm² – mn² – lm + n²
Solution:
lm² – mn² – lm + n²
= m (lm – n²)- 1 (lm – n²)  {(lm – n²) is common}
= (lm – n²) (m – 1)

Question 11.
x³ – y² + x – x²y²
Solution:
x³ -y² + x – x²y²
⇒ x³ + x – x²y² – y²
= x(x²+ 1)-y²(x²+ 1)        {(x² + 1) is common}
= (x² + 1) (x -y²)

Question 12.
6xy + 6 – 9y – 4x
Solution:
6xy + 6 – 9y – 4x
= 6 xy – 4x – 9y + 6
= 2x (3y – 2) – 3 (3y – 2)    {(3y – 2) is common}
= (3y-2) (2x – 3)

Question 13.
x² – 2ax – 2ab + bx
Solution:
x² – 2ax – 2ab + bx
⇒ x² – 2ax + bx – 2ab
= x (x – 2a) + b (x – 2a)   {(x – 2a) is common}
= (x – 2a) (x + b)

Question 14.
x³ – 2x²y + 3xy² – 6y³
Solution:
x³ – 2x²y + 3xy² – 6y³
= x² (x – 2y) + 3y² (x – 2y)     {(x – 2y) is common}
= (x – 2y) (x² + 3y²)

Question 15.
abx² + (ay – b) x-y
Solution:
abx² + (ay – b) x-y
= abx² + ayx – bx -y 
= ax (bx + y) – 1 (bx + y)               {(bx +y) is common}
= (bx + y) (ax – 1)

Question 16.
(ax + by)² + (bx – ay)²
Solution:
(ax + by)² + (bx – ay)²
= a²x² + b²y² + 2abxy + b²x² + a²y² – 2abxy
= a²x² + b²y² + b²x² + a²y²
= a²x² + b²x² + a²y² + by²
= x² (a² + b²) + y² (a² + b²)         {(a² + b²) is common}
= (a² + b²) (x² + y²)

Question 17.
16 (a – b)³ -24 (a- b)²
Solution:
16 (a – b)³ -24 (a- b)²
HCF of 16, 24 = 8
and HCF of (a – b)³, (a – b)² = (a – b)²
∴16 (a – b)³ – 24 (a – b)²
= 8 (a-b)² {2 (a-b)- 3}
{8 (a – b)² is common}
= 8 (a – b)² (2a – 2b – 3)

Question 18.
ab (x² + 1) + x (a² + b²)
Solution:
ab (x² + 1) + x (a² + b²)
= abx² + ab + a²x + b²x
= abx² + b²x + a²x + ab
= bx (ax + b) + a (ax + b)  {(ax + b) is common}
= (ax + b) (bx + a)

Question 19.
a²x² + (ax² + 1) x + a
Solution:
a²x² + (ax² + 1) x + a
= a²x² + ax³ + x + a
= ax³ + a²x² + x + a
= ax² (x + a) + 1 (x + a) {(x + a) is common}
= (x + a) (ax² + 1)

Question 20.
a(a- 2b -c) + 2bc
Solution:
a(a- 2b -c) + 2bc
= a²– 2ab -ac +2bc
= a (a – 2b) – c (a – 2b) {(a – 2b) is common}
= (a – 2b) (a – c)

Question 21.
a (a + b – c)- bc
Solution:
a (a + b – c) – bc
= a² + ab – ac – bc
= a (a + b) – c (a + b)   {(a + b) is common}
= (a + b) (a – c)

Question 22.
x² – 11xy – x +11y
Solution:
x² – 11xy-x + 11y
= x² -x – 11 xy + 11 y
= x (x – 1) – 11y (x – 1)   {(x – 1) is common}
= (x- 1) (x- 11y)

Question 23.
ab – a – b + 1
Solution:
ab – a-b + 1
= a (b – 1) – 1 (b – 1)    {(b – 1) is common}
= (b – 1) (a – 1)

Question 24.
x² + y – xy – x
Solution:
x² + y – xy – x
= x² – x- xy + y
= x (x – 1) – y (x – 1)   {(x – 1) is common}
= (x- 1) (x-y)

Exercise 7.5

Factorize each of the following expressions :
Question 1.
16x²-25y²
Solution:
16x² – 25y² = (4x)² – (5y)²    {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (4x + 5y) (4x – 5y)

Question 2.
27x² – 12y²
Solution:
27x² – 12y² = 3 (9x² – 4y²)  {∵ a² -b² = (a + b) (a – b)}
= 3 [(3x)² – (2y)²]
= 3 (3x + 2y) (3x – 2y)

Question 3.
144a² – 289b²
Solution:
144a² – 289b² = (12a)² – (17b)²    { ∵ a² – b² = (a + b) (a – b}
= (12a+ 17b) (12a- 17b)

Question 4.
12m² – 27
Solution:
12m² – 27 = 3 (4m² – 9)
= 3 {(2m)²-(3)²}   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= 3 (2m + 3) (2m – 3)

Question 5.
125x² – 45y²
Solution:
125x² – 45y² = 5 (25x² – 9y²)
= 5 {(5x-)² – (3y)²}    {∵ a² – b² = (a + b) (a – b}
= 5 (5x + 3y) (5x – 3y)

Question 6.
144a² – 169b²
Solution:
144a² – 169b² = (12a)² – (13b)²    {∵ a² -b² = (a + b) (a – b)}
= (12a + 13b) (12a-13b)

Question 7.
(2a – b)² – 16c²
Solution:
(2a – b)² – 16c² = (2a – b)² – (4c)²   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (2a – b + 4c) (2a – b – 4c)

Question 8.
(x + 2y)² – 4 (2x -y)²
Solution:
(x + 2y)² – 4 (2x – y)²
= (x + 2y)² – {2 (2x –y)}²
= (x + 2y)² – (4x – 2y)²        {∵ a²– b² = (a + b) (a – b)}
= (a + 2y + 4x – 2y) (x + 2y – 4x + 2y)
= 5x (-3x + 4y)

Question 9.
3a⁵ – 48a³
Solution:
3a⁵ – 48a³ = 3a³ (a²– 16)
= 3a³ {(a)² – (4)²}        {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= 3a³ (a + 4) (a – 4)

Question 10.
a⁴ – 16b⁴
Solution:
a⁴ – 16b⁴ = (a²)² – (4b²)²
= (a² + 4b²) (a² – 4b²)
= (a² + 4b²) {(a)² – (2b)² }   { ∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (a² + 4b²) (a + 2b) (a – 2b)

Question 11.
x⁸ – 1
Solution:
x⁸ – 1 = (x⁴)² – (1)²
= (x⁴ + 1) (x⁴ – 1)
= (x⁴+ 1) I (x²)² – (1)²}             {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (x⁴ + 1) (x² + 1) (x² – 1)
= (x⁴ + 1) (x² + 1) {(x)² – (1)²}
= (x⁴+ 1)(x² + 1)(x+ 1)(x- 1)
= (x-1)(x+ 1) (x² + 1) (x⁴ + 1)

Question 12.
64 – (a + 1)²
Solution:
64 – (a + 1)² = (8)² – (a + 1)²    {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (8 + a + 1) (8 – a – 1)
= (9 + a) (7 – a)

Question 13.
36l² – (m + n)²
Solution:
36l² – (m + n)² = (6l)² – (m + n)²        {∵  a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (6l + m + n) (6l – m – n)

Question 14.
25x⁴y⁴ – 1
Solution:
25x⁴y⁴ – 1 = (5x⁴y⁴)² – (1)²         { ∵  a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (5x⁴y⁴  + 1) (5x²y²  – 1)

Question 15.

Solution:

Question 16.
x³ – 144x
Solution:
x³ – 144x = x (x² – 144)
= x {(x)² – (12)²}       {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
=  x (x + 12) (x – 12)

Question 17.
(x – 4y)² – 625
Solution:
(x – 4y)² – 625
= (x – 4y)² – (25)²     {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (x – 4y + 25) (x -4y – 25)

Question 18.
9 (a – b)² – 100 (x -y)²
Solution:
9(a-b)²– 100(x-y)²
= {3(a-b)}²-{10(x-y)}²      {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (3a – 3b)² – (10x – 10y)²
= (3a – 3b + 10x – 10y) (3a – 3b – 10x + 10y)

Question 19.
(3 + 2a)² – 25a²
Solution:
(3 + 2a)² – 25a²
= (3 + 2a)² – (5a)²      (∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (3 + 2a + 5a) (3 + 2a – 5a)
= (3 + 7a) (3 – 3a)
= (3 + 7a) 3 (1 – a)
= 3(1-a) (3 +7a)

Question 20.
(x + y)² – (a – b)²
Solution:

Question 21.

Solution:

Question 22.
75a³b² – 108ab⁴
Solution:
75a³b² – 108ab⁴
= 3ab² (25a² – 36b²)
= 3ab² {(5a)² – (6b)²}         {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= 3ab² (5a + 6b) (5a – 6b)

Question 23.
x⁵– 16x³
Solution:
x⁵ – 16x³ = x³ (x² – 16)
= x³ {(x)² – (4)²} {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= x³ (x + 4) (x – 4)

Question 24.

Solution:

Question 25.
256x⁵ – 81x
Solution:
256x⁵– 81x = x(256x⁴– 81)
= x {(16x²)² – (9)²}      {∵ a² – b² = {a + b) (a – b)}
= x (16x² + 9) (16x² – 9)
= x (16x² + 9) {(4x)² – (3)²}
= x (16x² + 9) (4x + 3) (4x-3)

Question 26.
a⁴ – (2b + c)⁴
Solution:
a⁴ – (2b + c)⁴
= (a²)² – [(2b + c)²]²    {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= {a² + (2b + c)²} {a² – (2b + c)²}
= {a² + (2b + c)²} {(a)² – (2b + c)²}
= {a² + (2b + c)²} (a + 2b + c) (a -2b- c)

Question 27.
(3x + 4y)⁴ – x⁴
Solution:
(3x + 4y)⁴ – x⁴ – [(3x + 4y)²]² – (x²)²
= [(3x + 4y)² + x²] [(3x + 4y)² – x²]       {∵  a² – b² = (a + b) (a – b)
= [(3x + 4y)² + x²] [(3x + 4y + x) (3x + 4y – x)]
=   [(3x + 4y)² + x²] (4x + 4y) (2x + 4y)
= [(3x + 4y)² + x²] 4 (x + y) 2 (x + 2y)
= 8 (x + y) (x + 2y) [(3x + 4y)² + x²]

Question 28.
p²q² – p⁴q⁴
Solution:
p²q²– p⁴q⁴ =p²q² (1 -p²q²)
=p²q² [(1)² – (pq)²]   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= p²q² (1 +pq) (1 -pq)

Question 29.
3x³y – 243xy³
Solution:
3x³y – 243xy³
= 3xy (x² – 81y²)
= 3xy [(x)² – (9y)²]
= 3xy (x + 9y) (x – 9y)

Question 30.
a⁴b⁴ – 16c⁴
Solution:
a⁴b⁴ – 16c⁴ = (a²b²)² – (4c²)²
= (a²b² + 4c²) (a²b² – 4c²)
= (a²b² + 4c²) [(ab)² – (2c)²]      {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= (a²b² + 4c²) (ab + 2c) (ab – 2c)

Question 31.
x⁴-625
Solution:
x⁴ – 625 = (x²)² – (25)²   {∵ a² – b² – (a + b) (a – b)
= (x² + 25) (x² – 25)
= (x² + 25) [(x)² – (5)²]
= (x² + 25) (x + 5) (x – 5)

Question 32.
x⁴-1
Solution:
x⁴ – 1 = (x²)² – (1)² = (x² + 1) (x² – 1)
= (x² + 1) [(x)² – (1)²]
= (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

Question 33.
49 (a – b)² -25 (a + b)²
Solution:
49 (a – by -25 (a + b)²
= [7 (a – b)]² – [5 (a + b)]²
= (7a – 7b)² – (5a + 5b)²  {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= (7a -7b + 5a + 5b) (7a – 7b -5a- 5b)
=(12a – 2b)(2a – 12b)
= 2 (6a – b) 2 (a – 6b)
= 4 (6 a- b) (a – 6b)

Question 34.
x – y – x² + y² 
Solution:
x-y-x² + y² = (x-y)-(x²-y²) {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= {x-y)-(x + y)(x-y)
= (x-y)(1 – x – y)

Question 35.
16 (2x – 1)² – 25y²
Solution:
16 (2x – 1)² – 25y²
= [4 (2x – 1)]² – (5y)²
= (8x – 4)² – (5y)²
= (8x – 4 + 5y) (8x -4-5y)
= (8x + 5y – 4) (8x – 5y – 4)

Question 36.
4 (xy + 1)² – 9 (x – 1)²
Solution:
4 (xy + 1)² – 9 (x – 1)^2
= [2 (xy + 1)]² – [3 (x – 1)]²
= (2xy + 2)² – (3x – 3)² {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= (2xy + 2 + 3x – 3) (2xy + 2 – 3x + 3)
= (2xy + 3x – 1) (2xy – 3x + 5)

Question 37.
(2x + 1)² – 9x⁴
Solution:
(2x + 1)² – 9x⁴ = (2x + 1)² – (3x²)²    {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= (2x + 1 + 3x²) (2x + 1 – 3x²)
= (3x² + 2x + 1) (-3x + 2x + 1)

Question 38.
x⁴ – (2y- 3z)²
Solution:
x⁴ – (2y – 3z)² = (x²)² – (2y – 3z)²
= (x² + 2y- 3z) (x² – 2y + 3z)

Question 39.
a²-b² +a-b
Solution:
a² – b² + a – b
= (a + b) {a – b) + 1 (a – b)
= (a – b) (a + b + 1)

Question 40.
16a⁴ – b⁴
Solution:
16a⁴ – b⁴
= (4a²)² – (b²)²            { ∵  a² – b² = (a + b) (a – b)
= (4a² + b²) (4a² – b²)
= (4a² + b²) {(2a)² – (b)²}
= (4a² + b²) (2a + b) (2a – b)

Question 41.
a⁴ – 16 (b – c)⁴
Solution:
a⁴ – 16 (b- c)⁴ = (a²)² – [4 (b – c)²]² { ∵  a² – b² = (a + b) (a – b)
= [a² + 4 (b – c)²] [a² – 4 (b – c)²]
= [a² + 4 (b – c)²] [(a)² – [2 (b – c)]²]
= [a² + 4 (b – c)²] [(a)² – (2b – 2c)²]
= [a² + 4 (b – c)²] (a + 2b – 2c) (a – 2b + 2c)

Question 42.
2a⁵ – 32a
Solution:
2a⁵ – 32a = 2a (a⁴ – 16)
= 2a [(a²)² – (4)²]  {∵  a² – b² = (a + b) (a – b)
= 2a (a² + 4) (a² – 4)]
= 2a (a² + 4) [(a)² – (2)²]
= 2a (a² + 4) (a + 2) (a – 2)

Question 43.
a⁴b⁴ – 81c⁴
Solution:
a⁴b⁴ – 81c⁴ = (a²b²)² – (9c²)²
= (a²b² + 9c²) (a²b² – 9c²) {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= (a²b² + 9c²) {(ab)² – (3c)²}
= (a²b² + 9c²) (ab + 3c) (ab – 3c)

Question 44.
xy⁹-yx⁹
Solution:
xy⁹ – yx⁹ = xy (y⁸ – x⁸)
= xy [(y⁴)² – (x⁴)²] {∵  a² – b² = (a + b) (a – b)}
= xy(y⁴ + x⁴)(y⁴-x⁴)
= xy (y⁴ + x⁴) {(y²)² – (x²)²}
= xy (y⁴ + x⁴) (y² + x²) (y² – x²)
= xy (y⁴ + x⁴) (y² + x²) (y + x) (y – x)

Question 45.
x³ -x
Solution:
x³-x = x(x²– 1)
= x [(x)² – (1)²] = x (x + 1) (x – 1)

Question 46.
18a²x² – 32
Solution:
18a²x² – 32
= 2 [9a²x² – 16]
= 2 [(3ax)² – (4)²]   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= 2 (3ax + 4) (3ax – 4)

Exercise 7.6

Factorize each of the following algebraic expressions :
Question 1.
4x² + 12xy + 9y²
Solution:
4x² + 12xy + 9y² = (2x)² + 2 x 2x x 3y + (3y)² {∵ a² + 2ab + b² = (a +b)²}
= (2x + 3y)²    

Question 2.
9a² – 24ab + 16b²
Solution:
9a² – 24ab + 16b²
= (3a)² – 2 x 3a x 4b + (4b)²     {∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²}
= (3a – 4b)²

Question 3.
36a² – 6pqr + 9r²
Solution:
p²q² – 6pqr + 9r²
= (pq)² – 2 x pq x3r + (3r)² {∵ a² – 2ab + b² = (a -b)²}
= (pq-3r)²

Question 4.
36a² + 36a + 9
Solution:
36a² + 36a + 9
= (6a)² + 2 x 6a x 3 + (3)²   {∵ a² + 2ab + b² = (a + b)²
= (6a + 3)²

Question 5.
a² + 2ab + b² – 16
Solution:
a² + 2ab + b² – 16
= (a + b)² – (4)²     {∵ a² + 2ab + b² = (a + b)² and a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (a + b + 4) (a + b – 4)

Question 6.
9z² – x² + 4xy – 4y²
Solution:
9z² – x² + 4xy – 4y²    {∵ a² – b² = (a + b) (a – b) and a² – 2ab + b² (a – b)²}
= 9z² – (x² – 4xy + 4y²)
= (3z)² – [(x)² – 2 x x x 2y + (2y)²]
= (3z)²-(x-2y)²
= (3z + x – 2y) (3z – x + 2y)

Question 7.
9a⁴ – 24a²b² + 16b⁴ – 256
Solution:

Question 8.
16 – a⁶ + 4a³b³ – 4b⁶
Solution:

Question 9.
a² – 2ab + b² – c²
Solution:

Question 10.
x² + 2x + 1 – 9y²
Solution:

Question 11.
a² + 4ab + 3b²
Solution:
a² + 4ab + 3b²
= a² + 4ab+ 4b² – b²
= (a)² + 2 x a x 2b + (2b)² – b² (∵ 3b² = 4b² – b²)
= (a + 2b)² – (b)²   {∵ a² – b² = (a +b) (a – b)}
= (a + 2b + b) (a + 2b- b)

Question 12.
96 – 4x-x²
Solution:
96 – 4x – x² = 96 – (4x + x²)
= 96 – [(x)² + 2 x x x 2 + (2)²] + (2)²   (on completing the square)
= 96 + 4 – (x + 2)² = 100 – (x + 2)²
= (10)² – (x + 2)²
= (10 + x + 2) (10 – x- 2)
= (x + 12) (-x + 8)

Question 13.
a⁴ + 3a² + 4
Solution:
a⁴ + 3a² + 4
= (a²)² + (2)² + 2 x a² x 2 – a²   (on completing the square)
= (a² + 2)² – (a)²
= (a² + 2 + a) (a² + 2 – a)
= (a¹ + a + 2) (a² – a + 2)

Question 14.
4a⁴ + 1
Solution:
4x⁴ + 1 = (2a²)² + (1)² + 2 x 2x² x 1 – 2 x 2x² x 1  (completing the square)
= (2x² + 1)² – 4a²
= (2x² + 1)² – (2a)²   {a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (2x² + 1 + 2a) (2a² + 1 – 2a)
= (2a² + 2a + 1) (2a² – 2a + 1)

Question 15.
4x⁴+y⁴
Solution:
4a⁴ + y⁴ = (2x²)² + (y²)² + 2 x 2x²y² – 2 x 2x²y²
= (2x² + y²)² – 4x²y²
= (2x² + y²)² – (2xy)²
= (2x² + y² + 2xy) (2x² + y² – 2xy)
= (2x² + 2xy + y²) (2x² – 2xy + y²)

Question 16.
(x+ 2)² – 6 (a + 2) + 9
Solution:
(x + 2)² – 6 (x + 2) + 9
=  (x + 2)² – 2 x (x + 2) x 3 + (3)²
= (x + 2 – 3)²
= (x-1)² = (x-1)(x-1)

Question 17.
25 – p² – q² – 2pq
Solution:

Question 18.
a² + 9y² – 6xy – 25a²
Solution:
a² + 9y² – 6xy – 25a²

Question 19.
49 – a² + 8ab – 16b²
Solution:

Question 20.
a² – 8ab + 16b² – 25c²
Solution:

Question 21.
x² -y²+ 6y- 9
Solution:

Question 22.
25x² – 10x + 1 – 36y²
Solution:

Question 23.
a²-b² + 2bc – c²
Solution:

Question 24.
a² + 2ab + b² -c²
Solution:

Question 25.
49 -x² – y² + 2xy
Solution:

Question 26.
a² + 4b² – 4ab – 4c²
Solution:

Question 27.
x² -y² – 4xz + 4z²
Solution:

Exercise 7.7

Factorize each of the following algebraic expressions :
Question 1.
x² + 12x – 45
Solution:

Question 2.
40 + 3x – x²
Solution:

Question 3.
a² + 3a-88
Solution:

Question 4.
a² – 14a – 51
Solution:

Question 5.
x² + 14x + 45
Solution:

Question 6.
x² – 22x + 120
Solution:

Question 7.
x²– 11x – 42
Solution:

Question 8.
a² + 2a – 3
Solution:

Question 9.
a² + 14a + 48
Solution:

Question 10.
x² – 4x – 21
Solution:

Question 11.
y² – 5y-36
Solution:

Question 12.
(a²-5a)²-36
Solution:

Question 13.
(a + 7) (a – 10) + 16
Solution:

Exercise 7.8

Resolve each of the following quadratic trinomials into factors :
Question 1.
2x² + 5x + 3
Solution:

Question 2.
2x²– 3x – 2
Solution:

Question 3.
3x² + 10x + 3
Solution:

Question 4.
7x – 6 – 2x²
Solution:

Question 5.
7x² – 19x – 6
Solution:

Question 6.
28-31x -5x²
Solution:

Question 7.
3 + 23y – 8y²
Solution:

Question 8.
11x² – 54x + 63
Solution:

Question 9.
7x-6x² + 20
Solution:

Question 10.
3x² + 22x + 35
Solution:

Question 11.
12x² – 17xy + 6y²
Solution:

Question 12.
6x² – 5xy – 6y²
Solution:

Question 13.
6x² + 13xy + 2y²
Solution:

Question 14.
14x² + 11xy – 15y²
Solution:

Question 15.
6a² + 17ab – 3b²
Solution:

Question 16.
36a² + 12abc – 15b²c²
Solution:

Question 17.
15x² – 16xyz – 15y²z²
Solution:

Question 18.
(x – 2y)² -5 (x- 2y) + 6
Solution:

Question 19.
(2a – b)² + 2 (2a – b) – 8
Solution:

Exercise 7.9

Factorize each of the following quadratic polynomials by using the method of completing the square.
Question 1.
p² + 6p + 8
Solution:
p² + 6p + 8
= p² + 2 x p x 3 + 3² – 3² + 8   (completing the square)
= (p² + 6p + 3²) – 1
= (p + 3)² – 1²
= (P + 3)² – (1)²       { ∵ a² + b²  = (a+b) (a-b)}
= (p +3+1) (p + 3 -1)
= (p+4) (p+ 2)

Question 2.
q² – 10q + 21
Solution:
q² – 10q + 21
= (q)² – 2 x q x 5 + (5)² – (5)² + 21   (completing the square)
= (q)² – 2 x q x 5 + (5)² -25+21
= (q)²-2 x q x 5 + (5)² – 25 +21
= (q)²-2 x q x 5 + (5)² – 4
= (q – 5)² – (2)     {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (q- 5 + 2) (q-5-2)
=(q- 3) (q-7)

Question 3.
4y² + 12y + 5
Solution:
4y² +12y + 5
= (2y)² + 2 x 2y x 3 + (3)² – (3)² + 5    (completing the square)
= (2y + 3)² – 9 + 5
= (2y + 3)² – 4
= (2y + 3)²-(2)²   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (2y + 3 + 2) (2y + 3 – 2)
= (2y + 5) (2y+ 1)

Question 4.
p² + 6p- 16
Solution:
p² + 6p – 16
= (p)² + 2 x  p x 3 + (3)² – (3)² – 16    (completing the square)
= (p)² + 2 x p x 3 + (3)² – 9 – 16
= (p + 3)² – 25
= (p + 3)² – (5)²     {∵ a² -b² = {a + b) (a – b)}
= (p + 3 + 5)(p + 3-5)
= (p + 8) (p – 2)

Question 5.
x² + 12x + 20
Solution:
x² + 12x + 20
= (x)² + 2 x x x 6 + (6)² – (6)² + 20   (completing the square)
= (x)² + 2 x x x6 + (6)² -36 + 20
= (x + 6)² -16
= (x + 6)² – (4)²   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (x + 6 + 4) (x + 6 – 4)
= (x + 10) (x + 2)

Question 6.
a² – 14a – 51
Solution:
a² – 14a-51
= (a)² – 2 x x 7 + (7)² – (7)² – 51       (completing the square)
= (a)² – 2 x a x 7 + (7)² – 49 – 51
= (a – 7)² – 100
= (a – 7)² – (10)²    {∵  a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (a – 7 + 10) (a – 7 – 10)
= (a + 3) (a – 17)

Question 7.
a² + 2a – 3
Solution:
a² + 2a – 3
= (a)² + 2 x a x 1 + (1)² – (1)2 – 3   (completing the square)
= (a)² + 2 x a x 1 + (1)² – 1 – 3
= (a + 1)² – 4
= (a + 1)² – (2)² {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (a + 1 + 2) (a + 1 – 2)
= (a + 3) (a – 1)

Question 8.
4x² – 12x + 5
Solution:
4x² – 12x + 5
= (2x)² – 2 x 2x x 3 + (3)² – (3)² + 5  (completing the square)
= (2x)² – 2 x 2x x 3 + (3)² -9 + 5
= (2x – 3)² – 4
= (2x – 3)² – (2)²      {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (2x – 3 + 2) (2x – 3 – 2)
= (2x – 1) (2x – 5)

Question 9.
y² – 7y + 12
Solution:

Question 10.
z²-4z-12
Solution:
z² – 4z – 12
= (z)² – 2 x z x 2 + (2)² – (2)² – 12  (completing the square)
= (z)² – 2 x z x 2 + (2)² – 4 – 12
= (z-2)²-16
= (z-2)²-(4)²   {∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
= (z – 2 + 4) (z – 2 – 4)
= (z + 2)(z-6)