RS Agarwal Solution | Class 9th | Chapter-3 | Factorisation of Polynomials | Edugrown

Exercise MCQ

Question 1

If (x + 1) is a factor of the polynomial (2x² + kx) then the value of k is

(a) -2

(b) -3

(c) 2

(d) 3Solution 1

Correct option: (c)

Let p(x) = 2x² + kx

Since (x + 1) is a factor of p(x),

P(-1) = 0

⇒ 2(-1)² + k(-1) = 0

⇒ 2 – k = 0

⇒ k = 2Question 2

The value of (249)² – (248)² is

(a) 1²

(b) 477

(c) 487

(d) 497Solution 2

Correct option: (d)

(249)² – (248)²

= (249 + 248)(249 – 248)

= 497 × 1

= 497Question 3

Solution 3

Question 4

If a + b + c = 0, then a³ + b³ + c³= ?

(a) 0

(b) abc 

(c) 2abc

(d)3abcSolution 4

Question 5

(a) 0

(b) 

(c) 

(d) Solution 5

Correct option: (c)

Question 6

The coefficient of x in the expansion of (x + 3)³ is

(a) 1

(b) 9

(c) 18

(d)27Solution 6

Question 7

Which of the following is a factor of (x + y)³ – (x³ + y³)?

(a) x² + y² + 2xy

(b) x² + y² – xy

(c) xy²

(d) 3xySolution 7

Correct option: (d)

(x + y)³ – (x³ + y³)

= (x + y)³ – [(x + y)(x² – xy + y²)]

= (x + y)[(x + y)² – (x² – xy + y²)]

= (x + y)[x² + y² + 2xy – x² + xy – y²]

= (x + y)(3xy) Question 8

One of the factors of (25x² – 1) + (1 + 5x)² is

(a) 5 +x

(b) 5 – x

(c) 5x – 1

(d) 10xSolution 8

Correct option: (d)

(25x² – 1) + (1 + 5x)²

= [(5x)² – (1)²] + (1 + 5x)²

= (5x – 1)(5x + 1) + (1 + 5x)²

= (1 + 5x)[(5x – 1) + (1 + 5x)]

= (1 + 5x)(5x – 1 + 1 + 5x)

= (1 + 5x)(10x)Question 9

If (x + 5) is a factor of p(x) = x³ – 20x + 5k then k = ?

(a) -5

(b) 5

(c) 3

(d) -3Solution 9

Correct option: (b)

Since (x + 5) is a factor of p(x) = x³ – 20x + 5k,

p(-5) = 0

⇒ (-5)³ – 20(-5) + 5k = 0

⇒ -125 + 100 + 5k = 0

⇒ -25 + 5k = 0

⇒ 5k = 25

⇒ k = 5 Question 10

If (x + 2) and (x – 1) are factors of (x³ + 10x² + mx + n), then

(a) m = 5, n = -3

(b) m = 7, n = -18

(c) m = 17, n = -8

(d)m = 23, n = -19Solution 10

Question 11

104 ⨯ 96 =?

(a) 9894

(b) 9984

(c) 9684

(d)9884Solution 11

Question 12

305 ⨯ 308 = ?

(a) 94940

(b) 93840

(c) 93940

(d)94840Solution 12

Question 13

207 ⨯ 193 = ?

(a) 39851

(b) 39951

(c) 39961

(d)38951Solution 13

Question 14

4a² + b² + 4ab + 8a + 4b + 4 =?

(a) (2a + b + 2)²

(b) (2a – b + 2)²

(c) (a + 2b + 2)²

(d)None of theseSolution 14

Question 15

(x² – 4x – 21) =?

(a) (x – 7)(x – 3)

(b) (x + 7)(x – 3)

(c) (x – 7)(x + 3)

(d)none of theseSolution 15

Question 16

(4x² + 4x -3) = ?

(a) (2x – 1)(2x – 3)

(b) (2x + 1)(2x – 3)

(c) (2x + 3)(2x – 1)

(d)none of theseSolution 16

Question 17

6x² + 17x + 5 =?

(a) (2x +3)(3x + 5)

(b) (2x + 5)(3x + 1)

(c) (6x + 5)(x + 1)

(d)none of theseSolution 17

Question 18

(x + 1) is a factor of the polynomial

(a) x³ – 2x² + x + 2

(b) x³ + 2x² + x – 2

(c) x³ + 2x² – x – 2

(d)x³ + 2x² – x + 2Solution 18

Question 19

3x³ + 2x² + 3x + 2 =?

(a) (3x – 2)(x² – 1)

(b) (3x – 2)(x² + 1)

(c) (3x + 2)(x² – 1)

(d)(3x + 2)(x² + 1)Solution 19

Question 20

(a) 1

(b) 0

(c) -1

(d)3Solution 20

Question 21

If x + y + z =9 and xy + yz + zx = 23, then the value of (x³ + y³ + z³ – 3xyz) = ?

(a) 108

(b) 207

(c) 669

(d)729Solution 21

Question 22

then (a³ – b³) = ?

(a) -3

(b) -2

(c) -1

(d) 0Solution 22

Correct option: (d)

Exercise Ex. 3C

Question 1

Factorise:

x² + 11x + 30Solution 1

x² + 11x + 30

= x² + 6x + 5x + 30

= x (x + 6) + 5 (x + 6)

= (x + 6) (x + 5).Question 2

Factorise:

x² + 18x + 32Solution 2

x² + 18x + 32

= x² + 16x + 2x + 32

= x (x + 16) + 2 (x + 16)

= (x + 16) (x + 2).Question 3

Factorise:

x² + 20x – 69Solution 3

x² + 20x – 69

= x² + 23x – 3x – 69

= x(x + 23) – 3(x + 23)

= (x + 23)(x – 3) Question 4

Factorise:

x² + 19x – 150Solution 4

x² + 19x – 150

= x² + 25x – 6x – 150

= x(x + 25) – 6(x + 25)

= (x + 25)(x – 6) Question 5

Factorise:

x² + 7x – 98Solution 5

x² + 7x – 98

= x² + 14x – 7x – 98

= x(x + 14) – 7(x + 14)

= (x + 14)(x – 7) Question 6

Factorise:

Solution 6

Question 7

Factorise:

x² – 21x + 90Solution 7

x² – 21x + 90

= x² – 6x – 15x + 90

= x(x – 6) – 15(x – 6)

= (x – 6)(x – 15) Question 8

Factorise:

x² – 22x + 120Solution 8

x² – 22x + 120

= x² – 10x – 12x + 120

= x(x – 10) – 12(x – 10)

= (x – 10)(x – 12) Question 9

Factorise:

x² – 4x + 3Solution 9

x² – 4x + 3

= x² – 3x – x + 3

= x(x – 3) – 1(x – 3)

= (x – 3)(x – 1) Question 10

Factorise:

Solution 10

Question 11

Factorise:

Solution 11

Question 12

Factorise:

Solution 12

Question 13

Factorise:

Solution 13

Question 14

Factorise:

x² – 24x – 180Solution 14

x² – 24x – 180

= x² – 30x + 6x – 180

= x(x – 30) + 6(x – 30)

= (x – 30)(x + 6) Question 15

Factorise:

z² – 32z – 105Solution 15

z² – 32z – 105

= z² – 35z + 3z – 105

= z (z – 35) + 3 (z – 35)

= (z – 35) (z + 3)Question 16

Factorise:

x² – 11x – 80Solution 16

x² – 11x – 80

= x² – 16x + 5x – 80

= x (x – 16) + 5 (x – 16)

= (x – 16) (x + 5).Question 17

Factorise:

6 – x – x²Solution 17

6 – x – x²

= 6 + 2x – 3x – x²

= 2(3 + x) – x (3 + x)

= (3 + x) (2 – x).Question 18

Factorise:

Solution 18

Question 19

Factorise:

40 + 3x – x²Solution 19

40 + 3x – x²

= 40 + 8x – 5x – x²

= 8 (5 + x) -x (5 + x)

= (5 + x) (8 – x).Question 20

Factorise:

x² – 26x + 133Solution 20

x² – 26x + 133

= x² – 19x – 7x + 133

= x(x – 19) – 7(x – 19)

= (x – 19)(x – 7) Question 21

Factorise:

Solution 21

Question 22

Factorise:

Solution 22

Question 23

Factorise:

Solution 23

Question 24

Factorise:

Solution 24

Question 25

Factorise:

x² – x – 156Solution 25

x² – x – 156

= x² – 13x + 12x – 156

= x (x – 13) + 12 (x – 13)

= (x – 13) (x + 12).Question 27

Factorise:

9x² + 18x + 8Solution 27

9x² + 18x + 8

= 9x² + 12x + 6x + 8

= 3x (3x+ 4) +2 (3x + 4)

= (3x + 4) (3x + 2).Question 28

Factorise:

6x² + 17x + 12Solution 28

6x² + 17x + 12

= 6x² + 9x + 8x + 12

= 3x (2x + 3) + 4(2x + 3)

= (2x + 3) (3x + 4).Question 29

Factorise:

18x² + 3x – 10Solution 29

18x² + 3x – 10

= 18x² – 12x + 15x – 10

= 6x (3x – 2) + 5 (3x – 2)

= (6x + 5) (3x – 2).Question 30

Factorise:

2x² + 11x – 21Solution 30

2x² + 11x – 21

= 2x² + 14x – 3x – 21

= 2x (x + 7) – 3 (x + 7)

= (x + 7) (2x – 3).Question 31

Factorise:

15x² + 2x – 8Solution 31

15x² + 2x – 8

= 15x² – 10x + 12x – 8

= 5x (3x – 2) + 4 (3x – 2)

= (3x – 2) (5x + 4).Question 32

Factorise:

21x² + 5x – 6Solution 32

21x² + 5x – 6

= 21x² + 14x – 9x – 6

= 7x(3x + 2) – 3(3x + 2)

= (3x + 2)(7x – 3) Question 33

Factorise:

24x² – 41x + 12Solution 33

24x² – 41x + 12

= 24x² – 32x – 9x + 12

= 8x (3x – 4) – 3 (3x – 4)

= (3x – 4) (8x – 3).Question 34

Factorise:

3x² – 14x + 8Solution 34

3x² – 14x + 8

= 3x² – 12x – 2x +8

= 3x (x – 4) – 2(x – 4)

= (x – 4) (3x – 2).Question 35

Factorise:

2x² + 3x – 90Solution 35

2x² + 3x – 90

= 2x² – 12x + 15x – 90

= 2x (x – 6) + 15 (x – 6)

= (x – 6) (2x + 15).Question 37

Factorise:

Solution 37

Question 38

Factorise:

Solution 38

Question 39

Factorise:

Solution 39

Question 40

Factorise:

Solution 40

Question 41

Factorise:

Solution 41

Question 42

Factorise:

Solution 42

Question 43

Factorise:

Solution 43

Question 44

Factorise:

15x² – x – 28Solution 44

15x² – x – 28

= 15x² + 20x – 21x – 28

= 5x (3x + 4) – 7 (3x + 4)

= (3x + 4) (5x – 7).Question 45

Factorise:

6x² – 5x – 21Solution 45

6x² – 5x – 21

= 6x² + 9x – 14x – 21

= 3x (2x + 3) – 7 (2x + 3)

= (3x – 7) (2x + 3).Question 46

Factorise:

2x² – 7x – 15Solution 46

2x² – 7x – 15

= 2x² – 10x + 3x – 15

= 2x (x – 5) + 3 (x – 5)

= (x – 5) (2x + 3).Question 47

Factorise:

5x² – 16x – 21Solution 47

5x² – 16x – 21

= 5x² + 5x – 21x – 21

= 5x (x + 1) -21 (x + 1)

= (x + 1) (5x – 21).Question 48

Factorise:

6x² – 11x – 35Solution 48

6x² – 11x – 35

= 6x² – 21x + 10x – 35

= 3x(2x – 7) + 5(2x – 7)

= (2x – 7)(3x + 5) Question 49

Factorise:

9x² – 3x – 20Solution 49

9x² – 3x – 20

= 9x² – 15x + 12x – 20

= 3x(3x – 5) + 4(3x – 5)

= (3x – 5)(3x + 4) Question 50

Factorise:

10x² – 9x – 7Solution 50

10x² – 9x – 7

= 10x² + 5x – 14x – 7

= 5x (2x + 1) – 7 (2x+ 1)

= (2x + 1) (5x – 7).Question 51

Factorise:

x² – 2x + Solution 51

x² – 2x + 

Question 52

Factorise:

Solution 52

Question 53

Factorise:

Solution 53

Question 54

Factorise:

Solution 54

Question 55

Factorise:

Solution 55

Question 56

Factorise:

Solution 56

Question 57

Factorise:

Solution 57

Question 58

Factorise:

Solution 58

Question 59

Factorise:

Solution 59

Letx + y = z

Then, 2 (x+ y)² – 9 (x + y) – 5

Now, replacing z by (x + y), we get

Question 60

Factorise:

9 (2a – b)² – 4 (2a – b) – 13Solution 60

Let2a – b = c

Then,9 (2a – b)² – 4 (2a – b) -13

Now, replacing c by (2a – b) , we get

9 (2a – b)² – 4 (2a – b) – 13

Question 61

Factorise:

7 (x – 2y)² – 25 (x – 2y) + 12Solution 61

Let x – 2y = z

Then, 7 (x – 2y)² – 25 (x – 2y) + 12

Now replace z by (x – 2y), we get

7 (x – 2y)² – 25 (x – 2y) + 12

Question 62

Factorise:

Solution 62

Question 63

Factorise:

Solution 63

Question 64

Factorise:

(a + 2b)² + 101(a + 2b) + 100Solution 64

Given equation: (a + 2b)² + 101(a + 2b) + 100

Let (a + 2b) = x

Then, we have

x² + 101x + 100

= x² + 100x + x + 100

= x(x + 100) + 1(x + 100)

= (x + 100)(x + 1)

= (a + 2b + 100)(a + 2b + 1) Question 65

Factorise:

Solution 65

Let x² = y

Then, 4x⁴ + 7x² – 2

Now replacing y by x², we get

Question 66

Evaluate {(999)² – 1}.Solution 66

{(999)² – 1}

= {(999)² – (1)²}

= {(999 – 1)(999 + 1)}

= 998 × 1000

= 998000 

Exercise Ex. 3D

Question 1(i)

Expand:

(a + 2b + 5c)²Solution 1(i)

We know:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(i) (a + 2b + 5c)²

= (a)² + (2b)² + (5c)² + 2(a) (2b) + 2 (2b) (5c) + 2(5c) (a)

= a² + 4b² + 25c² + 4ab + 20bc + 10acQuestion 1(ii)

Expand:

(2a – b + c)²Solution 1(ii)

We know:

(2a – b + c)²

= (2a)² + (-b)² + (c)² + 2 (2a) (-b) + 2(-b) (c) + 2 (c) (2a)

= 4a² + b² + c² – 4ab – 2bc + 4ac.Question 1(iii)

Expand:

(a – 2b – 3c)²Solution 1(iii)

We know:

(a – 2b – 3c)²

= (a)² + (-2b)² + (-3c)²+ 2(a) (-2b) + 2(-2b) (-3c) + 2 (-3c) (a)

= a² + 4b² + 9c² – 4ab + 12bc – 6ac.Question 2(i)

Expand:

(2a – 5b – 7c)²Solution 2(i)

We know:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(2a – 5b – 7c)²

= (2a)² + (-5b)² + (-7c)² + 2 (2a) (-5b) + 2 (-5b) (-7c) + 2 (-7c) (2a)

= 4a² + 25b² + 49c² – 20ab + 70bc – 28ac.Question 2(ii)

Expand:

(ii) (-3a + 4b – 5c)²Solution 2(ii)

(-3a + 4b – 5c)²

= (-3a)² + (4b)² + (-5c)² + 2 (-3a) (4b) + 2 (4b) (-5c) + 2 (-5c) (-3a)

= 9a² + 16b² + 25c² – 24ab – 40bc + 30ac.Question 2(iii)

Expand:

Solution 2(iii)

= Question 3

Factorise: 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz.Solution 3

4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz

= (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2 (2x) (3y) + 2(3y) (-4z) + 2 (-4z) (2x)

= (2x + 3y – 4z)²Question 4

Factorise: 9x² + 16y² + 4z² – 24xy + 16yz – 12xzSolution 4

9x² + 16y² + 4z² – 24xy + 16yz – 12xz

= (-3x)² + (4y)² + (2z)² + 2 (-3x) (4y) + 2 (4y) (2z) + 2 (2z) (-3x)

= (-3x + 4y + 2z)².Question 5

Factorise: 25x² + 4y² + 9z² – 20xy – 12yz + 30xz.Solution 5

25x² + 4y² + 9z² – 20xy – 12yz + 30xz

= (5x)² + (-2y)² + (3z)² + 2(5x) (-2y) + 2(-2y) (3z) + 2(3z) (5x)

= (5x – 2y + 3z)²Question 6

16x² + 4y² + 9z² – 16xy – 12yz + 24xzSolution 6

16x² + 4y² + 9z² – 16xy – 12yz + 24xz

= (4x)² + (-2y)² + (3z)² + 2(4x)(-2y) + 2(-2y)(3z) + 2(4x)(3z)

= [4x + (-2y) + 3z]²

= (4x – 2y + 3z)²

= (4x – 2y + 3z)(4x – 2y + 3z) Question 7(i)

Evaluate

(99)²Solution 7(i)

(99)²

= (100 – 1)²

= (100)² – 2(100) (1) + (1)²

= 10000 – 200 + 1

= 9801.Question 7(ii)

Evaluate

(995)²Solution 7(ii)

(995)²

= (1000 – 5)²

= (1000)² + (5)² – 2(1000)(5)

= 1000000 + 25 – 10000

= 990025 Question 7(iii)

Evaluate

(107)²Solution 7(iii)

(107)²

= (100 + 7)²

= (100)² + (7)² + 2(100)(7)

= 10000 + 49 + 1400

= 11449 

Exercise Ex. 3E

Question 1(i)

Expand:

(3x + 2)³Solution 1(i)

(3x + 2)³

= (3x)³ + (2)³ + 3 3x 2 (3x + 2)

= 27x³ + 8 + 18x (3x + 2)

= 27x³ + 8 + 54x² + 36x.Question 1(ii)

Expand:

Solution 1(ii)

Question 1(iii)

Expand

Solution 1(iii)

Question 2(i)

Expand

(5a – 3b)³Solution 2(i)

(5a – 3b)³

= (5a)³ – (3b)³ – 3(5a)(3b)(5a – 3b)

= 125a³ – 27b³ – 45ab(5a – 3b)

= 125a³ – 27b³ – 225a²b + 135ab² Question 2(ii)

Expand

Solution 2(ii)

Question 2(iii)

Expand

Solution 2(iii)

Question 3

Factorise 

8a³ + 27b³ + 36a²b + 54ab²Solution 3

8a³ + 27b³ + 36a²b + 54ab²

= (2a)³ + (3b)³ + 3 × (2a)² × (3b) + 3 × (2a) × (3b)²

= (2a + 3b)³

= (2a + 3b)(2a + 3b)(2a + 3b) Question 4

Factorise 

64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²Solution 4

64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²

= (4a)³ – (3b)³ – 3 × (4a)² × (3b) + 3 × (4a) × (3b)²

= (4a – 3b)³

= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b) Question 5

Factorise 

Solution 5

Question 6

Factorise 

125x³ – 27y³ – 225x²y + 135xy²Solution 6

125x³ – 27y³ – 225x²y + 135xy²

= (5x)³ – (3y)³ – 3 × (5x)² × (3y) + 3 × (5x) × (3y)²

= (5x – 3y)³

= (5x – 3y)(5x – 3y)(5x – 3y)  Question 7

Factorise 

a³x³ – 3a²bx² + 3ab²x – b³Solution 7

a³x³ – 3a²bx² + 3ab²x – b³

= (ax)³ – 3 × (ax)² × b + 3 × (ax) × (b)² – (b)³

= (ax – b)³

= (ax – b)(ax – b)(ax – b)  Question 8

Factorise 

Solution 8

Question 9

Factorise 

a³ – 12a(a – 4) – 64Solution 9

a³ – 12a(a – 4) – 64

= a³ – 3 × a × 4(a – 4) – (4)³

= (a – 4)³

= (a – 4)(a – 4)(a – 4) Question 10(i)

Evaluate

(103)³Solution 10(i)

(103)³

= (100 + 3)³

= (100)³ + (3)³ + 3 × 100 × 3 × (100 + 3)

= 1000000 + 27 + 900(103)

= 1000000 + 27 + 92700

= 1092727 Question 10(ii)

Evaluate

(99)³Solution 10(ii)

(99)³

= (100 – 1)³

= (100)³ – (1)³ – 3 × 100 × 1 × (100 – 1)

= 1000000 – 1 – 300(99)

= 1000000 – 1 – 29700

= 970299  

Exercise Ex. 3F

Question 1

Factorise:

x³ + 27Solution 1

x³ + 27

= x³ + 3³

= (x + 3) (x² – 3x + 9)

Question 2

Factorise 

27a³ + 64b³Solution 2

27a³ + 64b³

= (3a)³ + (4b)³

= (3a + 4b)[(3a)² – (3a)(4b) + (4b)²]

= (3a + 4b)(9a² – 12ab + 16b²) Question 3

Factorise:

125a³ + Solution 3

125a³ + 

We know that 

Let us rewrite

Question 4

Factorise:

216x³ + Solution 4

216x³ + 

We know that 

Let us rewrite

Question 5

Factorise:

16x⁴ + 54xSolution 5

16x ⁴ + 54x

= 2x (8x ³ + 27)

= 2x [(2x)³ + (3)³]

= 2x (2x + 3) [(2x)² – 2x3 + 3²]    

=2x(2x+3)(4x² -6x +9)
Question 6

Factorise:

7a³ + 56b³Solution 6

7a³ + 56b³

= 7(a³ + 8b³)

= 7 [(a)³ + (2b)³]

= 7 (a + 2b) [a² – a 2b + (2b)²]    

= 7 (a + 2b) (a² – 2ab + 4b²).Question 7

Factorise:

x⁵ + x²Solution 7

x⁵ + x²

= x²(x³ + 1)

= x² (x + 1) [(x)² – x 1 + (1)²]     

= x² (x + 1) (x² – x + 1).Question 8

Factorise:

a³ + 0.008Solution 8

a³ + 0.008

= (a)³ + (0.2)³

= (a + 0.2) [(a)² – a 0.2 + (0.2)²]     

= (a + 0.2) (a² – 0.2a + 0.04).Question 9

Factorise:

1 – 27x³Solution 9

1 – 27x³

= (1)³ – (3x)³

= (1 – 3x) [(1)² + 1 3x + (3x)²]       

= (1 – 3x) (1 + 3x + 9x²).Question 10

Factorise 

64a³ – 343Solution 10

64a³ – 343

= (4a)³ – (7)³

= (4a – 7)[(4a)² + (4a)(7) + (7)²]

= (4a – 7)(16a² + 28a + 49) Question 11

Factorise:

x³ – 512Solution 11

x³ – 512

= (x)³ – (8)³

= (x – 8) [(x)² + x 8 + (8)²]       

= (x – 8) (x² + 8x + 64).Question 12

Factorise:

a³ – 0.064Solution 12

a³ – 0.064

= (a)³ – (0.4)³

= (a- 0.4) [(a)² + a 0.4 + (0.4)²]     

= (a – 0.4) (a² + 0.4 a + 0.16).Question 13

Factorise:

Solution 13

We know that 

Let us rewrite

Question 14

Factorise 

Solution 14

Question 15

Factorise:

x – 8xy³Solution 15

x – 8xy³

= x (1 – 8y³)

= x [(1)³ – (2y)³]

= x (1 – 2y) [(1)² + 1 2y + (2y)²]    

= x (1 – 2y) (1 + 2y + 4y²).Question 16

Factorise:

32x⁴ – 500xSolution 16

32x⁴ – 500x

= 4x (8x³ – 125)

= 4x [(2x)³ – (5)³]

= 4x [(2x – 5) [(2x)² + 2x 5 + (5)²]      

= 4x (2x – 5) (4x² + 10x + 25).Question 17

Factorise:

3a⁷b – 81a⁴b⁴Solution 17

3a⁷b – 81a⁴b⁴

= 3a⁴b (a³ – 27b³)

= 3a⁴b [(a)³ – (3b)³]

= 3a⁴b (a – 3b) [(a)² + a 3b + (3b)²]      

= 3a⁴b (a – 3b) (a² + 3ab + 9b²).Question 18

Factorise 

x⁴y⁴ – xySolution 18

x⁴y⁴ – xy

= xy(x³y³ – 1)

= xy[(xy)³ – (1)³]

= xy{(xy – 1)[(xy)² + (xy)(1) + (1)²]}

= xy(xy – 1)(x²y² + xy + 1) Question 19

Factorise 

8x²y³ – x⁵Solution 19

8x²y³ – x⁵

= x² (8y³ – x³)

= x² [(2y)³ – x³]

= x² [(2y – x)[(2y)² + (2y)(x) + x²]

= x² (2y – x)(4y² + 2xy + x²) Question 20

Factorise 

1029 – 3x³Solution 20

1029 – 3x³

= 3(343 – x³)

= 3[(7)³ – x³]

= 3[(7 – x)(7² + 7x + x²)]

= 3(7 – x)(49 + 7x + x²) Question 21

Factorise:

x⁶ – 729Solution 21

x⁶ – 729

= (x²)³ – (9)³

= (x² – 9) [(x²)² + x² 9 + (9)²]      

= (x² – 9) (x⁴ + 9x² + 81)

= (x + 3) (x – 3) [(x² + 9)² – (3x)²]

= (x + 3) (x – 3) (x² + 3x + 9) (x² – 3x + 9).Question 22

Factorise 

x⁹ – y⁹Solution 22

x⁹ – y⁹

= (x³)³ – (y³)³ 

= [(x³ – y³)][(x³)² + x³y³ + (y³)²]

= [(x – y)(x² + xy + y²)(x⁶ + x³y³ + y⁶)  Question 23

Factorise:

(a + b)³ – (a – b)³Solution 23

We know that, 

Therefore,

(a + b)³ – (a – b)³

= [a + b – (a – b)] [ (a + b)² + (a + b) (a – b) + (a – b)²] 

= (a + b – a + b) [ a² + b² + 2ab + a² – b² + a² + b² – 2ab]

= 2b (3a² + b²).Question 24

Factorise:

8a³ – b³ – 4ax + 2bxSolution 24

8a³ – b³ – 4ax + 2bx

= 8a³ – b³ – 2x (2a – b)

= (2a)³ – (b)³ – 2x (2a – b)

= (2a – b) [(2a)² + 2a b + (b)²] – 2x (2a – b)    

= (2a – b) (4a² + 2ab + b²) – 2x (2a – b)

= (2a – b) (4a² + 2ab + b² – 2x).Question 25

Factorise:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 8Solution 25

Question 26

Factorise:

Solution 26

We know that 

Question 27

Factorise:

2a³ + 16b³ – 5a – 10bSolution 27

2a³ + 16b³ – 5a – 10b

= 2 (a³ + 8b³) – 5 (a + 2b)

= 2 [(a)³ + (2b)³] – 5 (a + 2b)

= 2 (a + 2b) [(a)² – a 2b + (2b)² ] – 5 (a + 2b)     

= (a+ 2b) [2(a² – 2ab + 4b²) – 5]Question 28

Factorise 

a⁶ + b⁶Solution 28

a⁶ + b⁶

= (a²)³ + (b²)³ 

= (a² + b²)[(a²)² – (a²b²) + (b²)²]

= (a² + b²)(a⁴ – a²b² + b⁴) Question 29

Factorise 

a¹² – b¹²Solution 29

a¹² – b¹²

= (a⁶)² – (b⁶)² 

= (a⁶ – b⁶)(a⁶ + b⁶)

= [(a³)² – (b³)²][(a²)³ + (b²)³]

= (a³ – b³)(a³ + b³)[(a² + b²)(a⁴ – a²b² + b⁴)] 

= (a – b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² – ab + b²)(a² + b²)(a⁴ – a²b² + b⁴)

= (a – b)(a + b)(a² + b²)(a² + ab + b²)(a² – ab + b²)(a⁴ – a²b² + b⁴)Question 30

Factorise 

x⁶ – 7x³ – 8Solution 30

Given equation is x⁶ – 7x³ – 8.

Putting x³ = y, we get

y² – 7y – 8

= y² – 8y + y – 8

= y(y – 8) + 1(y – 8)

= (y – 8)(y + 1)

= (x³ – 8)(x³ + 1)

= (x³ – 2³)(x³ + 1³)

= (x – 2)(x² + 2x + 4)(x + 1)(x² – x + 1)

= (x – 2)(x + 1)(x² + 2x + 4)(x² – x + 1) Question 31

Factorise 

x³ – 3x² + 3x + 7Solution 31

x³ – 3x² + 3x + 7

= x³ – 3x² + 3x – 1 + 8

= (x³ – 3x² + 3x – 1) + 8

= (x – 1)³ + 2³

= (x – 1 + 2)[(x – 1)² – (x – 1)(2) + 2²]

= (x + 1)(x² – 2x + 1 – 2x + 2 + 4)

= (x + 1)(x² – 4x + 7) Question 32

Factorise 

(x + 1)³ + (x – 1)³Solution 32

(x + 1)³ + (x – 1)³

= (x + 1 + x – 1)[(x + 1)² – (x + 1)(x – 1) + (x – 1)²]

= 2x(x² + 2x + 1 – x² + 1 + x² – 2x + 1)

= 2x(x² + 3)  Question 33

Factorise 

(2a + 1)³ + (a – 1)³Solution 33

(2a + 1)³ + (a – 1)³

= (2a + 1 + a – 1)[(2a + 1)² – (2a + 1)(a – 1) + (a – 1)²]

= (3a)[4a² + 4a + 1 – 2a² + 2a – a + 1 + a² – 2a + 1]

= 3a(3a² + 3a + 3)

= 9a(a² + a + 1)  Question 34

Factorise 

8(x + y)³ – 27(x – y)³Solution 34

8(x + y)³ – 27(x – y)³

= [2³ (x + y)³] – [3³ (x – y)³]

= [2(x + y) – 3(x – y)]{[2(x + y)]² + 2(x + y)3(x – y) + [3(x – y)]²}

= (2x + 2y – 3x + 3y){[4(x² + y² + 2xy)] + 6(x² – y²) + [9(x² + y² – 2xy]}

= (-x + 5y){4x² + 4y² + 8xy + 6x² – 6y² + 9x² + 9y² – 18xy}

= (-x + 5y)(19x² + 7y² – 10xy) Question 35

Factorise 

(x + 2)³ + (x – 2)³Solution 35

(x + 2)³ + (x – 2)³

= [(x + 2) + (x – 2)][(x + 2)² – (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²]

=(2x)(x² + 4x + 4 – x² + 4 + x² – 4x + 4)

= 2x(x² + 12) Question 36

Factorise 

(x + 2)³ – (x – 2)³Solution 36

(x + 2)³ – (x – 2)³

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²]

= 4(x² + 4x + 4 + x² – 4 + x² – 4x + 4)

= 4(3x² + 4) Question 37

Prove that

Solution 37

Question 38

Prove that

Solution 38

Exercise Ex. 3G

Question 1

Find the product:

(x + y – z) (x² + y² + z² – xy + yz + zx)Solution 1

(x + y – z) (x² + y² + z² – xy + yz + zx)

= [x + y + (-z)] [(x)² + (y)² + (-z)² – (x) (y) – (y) (-z) – (-z) (x)]

= x³ + y³ – z³ + 3xyz.Question 2

Find the product.

(x – y – z)(x² + y² + z² + xy – yz + xz)Solution 2

(x – y – z)(x² + y² + z² + xy – yz + xz)

= x³ + xy² + xz² + x²y  – xyz + x²z – x²y – y³ – yz² – xy² + y²z – xyz – x²z – y²z – z³ – xyz + yz² – xz²

= x³ – y³ – z³ – xyz – xyz – xyz

= x³ – y³ – z³ – 3xyz Question 3

Find the product:

(x – 2y + 3) (x² + 4y² + 2xy – 3x + 6y + 9)Solution 3

(x – 2y + 3) (x² + 4y² + 2xy – 3x + 6y + 9)

= [x + (-2y) + 3] [(x)² + (-2y)² + (3) – (x) (-2y) – (-2y) (3) – (3) (x)]

= (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

= a³ + b³ + c³ – 3abc

Where, x = a, (-2y) = b and 3 = c

(x – 2y + 3) (x² + 4y² + 2xy – 3x + 6y + 9)

= (x)³ + (-2y)³ + (3)² – 3 (x) (-2y) (3)

= x³ – 8y³ + 27 + 18xy.Question 4

Find the product.

(3x – 5y + 4)(9x² + 25y² + 15xy + 20y – 12x + 16)

*Modified the questionSolution 4

(3x – 5y + 4)(9x² + 25y² + 15xy + 20y – 12x + 16)

= (3x + (-5y) + 4)[(3x)² + (-5y)² + (4)² – (3x)(-5y) – (-5y)(4) – (3x)(4)]

= (3x)³ + (-5y)³ + (4)³ – 3(3x)(-5y)(4)

= 27x³ – 125y³ + 64 + 180xy Question 5

Factorise:

125a³ + b³ + 64c³ – 60abcSolution 5

125a³ + b³ + 64c³ – 60abc

= (5a)³ + (b)³ + (4c)³ – 3 (5a) (b) (4c)

= (5a + b + 4c) [(5a)² + b² + (4c)² – (5a) (b) – (b) (4c) – (5a) (4c)]

[ a³ + b³ + c³ – 3abc = (a+ b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)]

= (5a + b + 4c) (25a² + b² + 16c² – 5ab – 4bc – 20ac).Question 6

Factorise:

a³ + 8b³ + 64c³ – 24abcSolution 6

a³ + 8b³ + 64c³ – 24abc

= (a)³ + (2b)³ + (4c)³ – 3 a 2b 4c

= (a + 2b + 4c) [a² + 4b² + 16c² – 2ab – 8bc – 4ca).Question 7

Factorise:

1 + b³ + 8c³ – 6bcSolution 7

1 + b³ + 8c³ – 6bc

= 1 + (b)³ + (2c)³ – 3 (b) (2c)

= (1 + b + 2c) [1 + b² + (2c)² – b – b 2c – 2c]

= (1 + b + 2c) (1 + b² + 4c² – b – 2bc – 2c).Question 8

Factorise:

216 + 27b³ + 8c³ – 108bcSolution 8

216 + 27b³ + 8c³ – 108bc

= (6)³ + (3b)³ + (2c)² – 3 6 3b 2c

= (6 + 3b + 2c) [(6)² + (3b)² + (2c)² – 6 3b – 3b 2c – 2c 6]

= (6 + 3b + 2c) (36 + 9b² + 4c² – 18b – 6bc – 12c).Question 9

Factorise:

27a³ – b³ + 8c³ + 18abcSolution 9

27a³ – b³ + 8c³ + 18abc

= (3a)³ + (-b)³ + (2c)³ + 3(3a) (-b) (2c)

= [3a + (-b) + 2c] [(3a)² + (-b)² + (2c)² – 3a (-b) – (-b) (2c) – (2c) (3a)]

= (3a – b + 2c) (9a² + b² + 4c² + 3ab + 2bc – 6ca).Question 10

Factorise:

8a³ + 125b³ – 64c³ + 120abcSolution 10

8a³ + 125b³ – 64c³ + 120abc

= (2a)³ + (5b)³ + (-4c)³ – 3 (2a) (5b) (-4c)

= (2a + 5b – 4c) [(2a)² + (5b)² + (-4c)² – (2a) (5b) – (5b) (-4c) – (-4c) (2a)]

= (2a + 5b – 4c) (4a² + 25b² + 16c² – 10ab + 20bc + 8ca).Question 11

Factorise:

8 – 27b³ – 343c³ – 126bcSolution 11

8 – 27b³ – 343c³ – 126bc

= (2)³ + (-3b)³ + (-7c)³ – 3(2) (-3b) (-7c)

= (2 – 3b – 7c) [(2)² + (-3b)² + (-7c)² – (2) (-3b) – (-3b) (-7c) – (-7c) (2)]

= (2 – 3b – 7c) (4 + 9b² + 49c² + 6b – 21bc + 14c).Question 12

Factorise:

125 – 8x³ – 27y³ – 90xySolution 12

125 – 8x³ – 27y³ – 90xy

= (5)³ + (-2x)³ + (-3y)³ – 3 (5) (-2x) (-3y)

= (5 – 2x – 3y) [(5)² + (-2x)² + (-3y)² – (5) (-2x) – (-2x) (-3y) – (-3y) (5)]

= (5 – 2x – 3y) (25 + 4x² + 9y² + 10x – 6xy + 15y).Question 13

Factorise:

Solution 13

Question 14

Factorise:

27x³ – y³ – z³ – 9xyzSolution 14

27x³ – y³ – z³ – 9xyz

= (3x)³ – y³ – z³ – 3(3x)(y)(z)

= (3x)³ + (-y)³ + (-z)³ – 3(3x)(-y)(-z)

= [3x + (-y) + (-z)][(3x)² + (-y)² + (-z)² – (3x)(-y) – (-y)(-z) – (3x)(-z)]

= (3x – y – z)(9x² + y² + z² + 3xy – yz + 3zx) Question 15

Factorise:

Solution 15

Question 16

Factorise:

Solution 16

Question 17

Factorise:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³Solution 17

Putting (a – b) = x, (b – c) = y and (c – a) = z, we get,

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³

= x³ + y³ + z³, where (x + y + z) = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0

= 3xyz[ (x + y + z)= 0 (x³ + y³ + z³) = 3xyz]

= 3(a – b) (b – c) (c – a).Question 18

Factorise:

(a – 3b)³ + (3b – c)³ + (c – a)³Solution 18

Given equation is (a – 3b)³ + (3b – c)³ + (c – a)³

Now,

(a – 3b) + (3b – c) + (c – a)

= a – a – 3b + 3b – c + c

= 0

We know that if x + y + z = 0, then x³ + y³ + z³ = 3xyz

Hence,

(a – 3b)³ + (3b – c)³ + (c – a)³

= 3(a – 3b)(3b – c)(c – a)Question 19

Factorise:

(3a – 2b)³ + (2b – 5c)³ + (5c – 3a)³Solution 19

We have:

(3a – 2b) + (2b – 5c) + (5c – 3a) = 0

So, (3a – 2b)³ + (2b – 5c)³ + (5c – 3a)³

= 3(3a – 2b) (2b – 5c) (5c – 3a).Question 20

Factorise:

(5a – 7b)³ + (7b – 9c)³ + (9c – 5a)³Solution 20

Given equation is (5a – 7b)³ + (7b – 9c)³ + (9c – 5a)³

Now,

(5a – 7b) + (7b – 9c) + (9c – 5a)

= 5a – 7b + 7b – 9c + 9c – 5a

= 0

We know that if x + y + z = 0, then x³ + y³ + z³ = 3xyz

Hence,

(5a – 7b)³ + (7b – 9c)³ + (9c – 5a)³

= 3(5a – 7b)(7b – 9c)(9c – 5a) Question 21

Factorise:

a³ (b – c)³ + b³ (c – a)³ + c³ (a – b)³Solution 21

a³ (b – c)³ + b³ (c – a)³ + c³ (a – b)³

= [a (b – c)]³ + [b (c – a)]³ + [c (a – b)]³

Now, since, a (b – c) + b (c -a) + c (a – b)

= ab – ac + bc – ba + ca – bc = 0

So, a³ (b – c)³ + b³ (c – a)³ + c³ (a – b)³

= 3a (b – c) b (c – a) c (a – b)

= 3abc (a – b) (b – c) (c – a).Question 22(i)

Evaluate

(-12)³ + 7³ + 5³Solution 22(i)

Given equation is (-12)³ + 7³ + 5³

Now,

-12 + 7 + 5 = -12 + 12 = 0

We know that if x + y + z = 0, then x³ + y³ + z³ = 3xyz

Hence,

(-12)³ + 7³ + 5³

= 3(-12)(7)(5)

= -1260 Question 22(ii)

Evaluate

(28)³ + (-15)³ + (-13)³Solution 22(ii)

Given equation is (28)³ + (-15)³ + (-13)³

Now,

28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0

We know that if x + y + z = 0, then x³ +  y³ + z³ = 3xyz

Hence,

(28)³ + (-15)³ + (-13)³

= 3(28)(-15)(-13)

= 16380 Question 23

Prove that (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³ = 3(a + b)(b + c)(c + a)Solution 23

L.H.S. = (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³

= [(a + b) + c]³ – a³ – b³ – c³

= (a + b)³ + c³ + 3(a + b)c × [(a + b) + c] – a³ – b³ – c³

= a³ + b³ + 3ab(a + b) + c³ + 3(a + b)c × [(a + b) + c] – a³ – b³ – c³

= 3ab(a + b) + 3(a + b)c × [(a + b) + c]

= 3(a + b)[ab + c(a + b) + c²]

= 3(a + b)[ab + ac + bc + c²]

= 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

= 3(a + b)[(b + c)(a + c)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)

= R.H.S.Question 24

If a, b, c are all nonzero and a + b + c = 0, prove that

.Solution 24

Question 25

If a + b + c = 9 and a² + b² + c² = 35, find the value of (a³ + b³ + c³ – 3abc).Solution 25

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)

= (a + b + c)[(a² + b² + c²) – (ab + bc + ca)] ….(i)

Now,

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

⇒ (9)² = 35 + 2(ab + bc + ca)

⇒ 81 = 35 + 2(ab + bc + ca)

⇒ 2(ab + bc + ca) = 46

⇒ ab + bc + ca = 23

Substituting in (i), we get

a³ + b³ + c³ – 3abc = (9)[35 – 23] = 9 × 12 = 108 

Exercise Ex. 3B

Question 1

Factorise:

9x² – 16y²Solution 1

9x² – 16y²

= (3x)² – (4y)²

= (3x + 4y)(3x – 4y) Question 2

Factorise:

Solution 2

Question 3

Factorise:

81 – 16x²Solution 3

81 – 16x²

= (9)² – (4x)²

= (9 – 4x)(9 + 4x) Question 4

Factorise:

5 – 20x²Solution 4

5 – 20x²

= 5(1 – 4x²)

= 5[(1)² – (2x)²]

= 5[(1 – 2x)(1 + 2x)]

= 5(1 – 2x)(1 + 2x) Question 5

Factorise:

2x⁴ – 32Solution 5

2x⁴ – 32

= 2(x⁴ – 16)

= 2[(x²)² – (4)²]

= 2[(x² – 4)(x² + 4)]

= 2[(x² – 2²)(x² + 4)]

= 2[(x – 2)(x + 2)(x² + 4)]

= 2(x – 2)(x + 2)(x² + 4) Question 6

Factorise:

3a³b – 243ab³Solution 6

3a³b – 243ab³

= 3ab (a² – 81 b²)

= 3ab [(a)² – (9b)²]

= 3ab (a + 9b) (a – 9b)Question 7

Factorise:

3x³ – 48xSolution 7

3x³ – 48x

= 3x (x² – 16)

= 3x [(x)² – (4)²]

= 3x (x + 4) (x – 4)Question 8

Factorise:

27a² – 48b²Solution 8

27a² – 48b²

= 3 (9a² – 16b²)

= 3 [(3a)² – (4b)²]

= 3(3a + 4b) (3a – 4b)Question 9

Factorise:

x – 64x³Solution 9

x – 64x³

= x (1 – 64x²)

= x[(1)² – (8x)²]

= x (1 + 8x) (1 – 8x)Question 10

Factorise:

8ab² – 18a³Solution 10

8ab² – 18a³

= 2a (4b² – 9a²)

= 2a [(2b)² – (3a)²]

= 2a (2b + 3a) (2b – 3a)Question 11

Factorise:

150 – 6x²Solution 11

150 – 6x²

= 6 (25 – x²)

= 6 (5² – x²)

= 6 (5 + x) (5 – x)Question 12

Factorise:

2 – 50x²Solution 12

2 – 50x²

= 2 (1 – 25x²)

= 2 [(1)² – (5x)²]

= 2 (1 + 5x) (1 – 5x)Question 13

Factorise:

20x² – 45Solution 13

20x² – 45

= 5(4x² – 9)

= 5 [(2x)² – (3)²]

= 5 (2x + 3) (2x – 3)Question 14

Factorise:

(3a + 5b)² – 4c²Solution 14

(3a + 5b)² – 4c²

= (3a + 5b)² – (2c)²

= (3a + 5b – 2c)(3a + 5b + 2c) Question 15

Factorise:

a² – b² – a – bSolution 15

a² – b² – a – b

= a² – b² – (a + b)

= (a – b)(a + b) – (a + b)

= (a + b)(a – b – 1) Question 16

Factorise:

4a² – 9b² – 2a – 3bSolution 16

4a² – 9b² – 2a – 3b

= (2a)² – (3b)² – (2a + 3b)

= (2a – 3b)(2a + 3b) – (2a + 3b)

= (2a + 3b)(2a – 3b – 1) Question 17

Factorise:

a² – b² + 2bc – c²Solution 17

a² – b² + 2bc – c²

= a² – (b² – 2bc + c²)

= a² – (b – c)²

= [a – (b – c)][a + (b – c)]

= (a – b + c)(a + b – c) Question 18

Factorise:

4a² – 4b² + 4a + 1Solution 18

4a² – 4b² + 4a + 1

= (4a² + 4a + 1) – 4b²

= [(2a)² + 2 × 2a × 1 + (1)²] – (2b)²

= (2a + 1)² – (2b)²

= (2a + 1 – 2b)(2a + 1 + 2b)

= (2a – 2b + 1)(2a + 2b + 1) Question 19

Factorise:

a² + 2ab + b² – 9c²Solution 19

a² + 2ab + b² – 9c²

= (a + b)² – (3c)²

= (a + b + 3c) (a + b – 3c)Question 20

Factorise:

108a² – 3(b – c)²Solution 20

108a² – 3(b – c)²

= 3 [(36a² – (b -c)²]

= 3 [(6a)² – (b – c)²]

= 3 (6a + b – c) (6a – b + c)Question 21

Factorise:

(a + b)³ – a – bSolution 21

(a + b)³ – a – b

= (a + b)³ – (a + b)

= (a + b) [(a + b)² – 1²]

= (a + b) (a + b + 1) (a + b – 1)Question 22

Factorise:

x² + y² – z² – 2xySolution 22

x² + y² – z² – 2xy

= (x² + y² – 2xy) – z²

= (x – y)² – z²

= (x – y – z)(x – y + z) Question 23

Factorise:

x² + 2xy + y² – a² + 2ab – b²Solution 23

x² + 2xy + y² – a² + 2ab – b²

= (x² + 2xy + y²) – (a² – 2ab + b²)

= (x + y)² – (a – b)²

= [(x + y) – (a – b)][(x + y) + (a – b)]

= (x + y – a + b)(x + y + a – b) Question 24

Factorise:

25x² – 10x + 1 – 36y²Solution 24

25x² – 10x + 1 – 36y²

= (25x² – 10x + 1) – 36y²

= [(5x)² – 2(5x)(1) + (1)²] – (6y)²

= (5x – 1)² – (6y)²

= (5x – 1 – 6y)(5x – 1 + 6y) Question 25

Factorise:

a – b – a² + b²Solution 25

a – b – a² + b²

= (a – b) – (a² – b²)

= (a – b) – (a – b) (a + b)

= (a – b) (1 – a – b)Question 26

Factorise:

a² – 4ac + 4c² – b²Solution 26

a² – 4ac + 4c² – b²

= a² – 4ac + 4c² – b²

= a² – 2 a 2c + (2c)² – b²

= (a – 2c)² – b²

= (a – 2c + b) (a – 2c – b)Question 27

Factorise:

9 – a² + 2ab – b²Solution 27

9 – a² + 2ab – b²

= 9 – (a² – 2ab + b²)

= 3² – (a – b)²

= (3 + a – b) (3 – a + b)Question 28

Factorise:

x³ – 5x² – x + 5Solution 28

x³ – 5x² – x + 5

= x² (x – 5) – 1 (x – 5)

= (x – 5) (x² – 1)

= (x – 5) (x + 1) (x – 1)Question 29

Factorise:

1 + 2ab – (a² + b²)Solution 29

1 + 2ab – (a² + b²)

= 1 – (a² + b² – 2ab)

= (1)² – (a – b)²

= [1 – (a – b)][1 + (a – b)]

= (1 – a + b)(1 + a – b) Question 30

Factorise:

9a² + 6a + 1 – 36b²Solution 30

9a² + 6a + 1 – 36b²

= (9a² + 6a + 1) – 36b²

= [(3a)² + 2(3a)(1) + (1)²] – (6b)²

= (3a + 1)² – (6b)²

= (3a + 1 – 6b)(3a + 1 + 6b) Question 31

Factorise:

x² – y² + 6y – 9Solution 31

x² – y² + 6y – 9

= x² – (y² – 6y + 9)

= x² – (y² – 2 y 3 + 3²)

= x² – (y – 3)²

= [x + (y – 3)] [x – (y – 3)] 

= (x + y – 3) (x – y + 3)Question 32

Factorise:

4x² – 9y² – 2x – 3ySolution 32

4x² – 9y² – 2x – 3y

= (2x)² – (3y)² – (2x + 3y)

= (2x + 3y) (2x – 3y) – (2x + 3y) 

= (2x + 3y) (2x – 3y – 1)Question 33

Factorise:

9a² + 3a – 8b – 64b²Solution 33

9a² + 3a – 8b – 64b²

= 9a² – 64b² + 3a – 8b

= (3a)² – (8b)² + (3a – 8b)

= (3a + 8b) (3a – 8b) + (3a – 8b)

= (3a – 8b) (3a + 8b + 1)Question 34

Factorise:

Solution 34

Question 35

Factorise:

Solution 35

Question 36

Factorise:

Solution 36

Question 37

Factorise:

x⁸ – 1Solution 37

x⁸ – 1

= (x⁴)² – (1)²

= (x⁴ – 1)(x⁴ + 1)

= [(x²)² – (1)²)(x⁴ + 1)

= (x² – 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)

= (x – 1)(x + 1)(x² + 1)[(x²)² + (1)² + 2x² – 2x²

= (x – 1)(x + 1)(x² + 1)[(x²)² + (1)² + 2x²) – 2x²

Question 38

Factorise:

16x⁴ – 1Solution 38

16x⁴ – 1

= (4x²)² – (1)²

= (4x² – 1)(4x² + 1)

= [(2x)² – (1)²](4x² + 1)

= (2x – 1)(2x + 1)(4x² + 1) Question 39

Factorise:

81x⁴ – y⁴Solution 39

81x⁴ – y⁴

= (9x²)² – (y²)²

= (9x² – y²)(9x² + y²)

= [(3x)² – y²](9x² + y²)

= (3x – y)(3x + y)(9x² + y²) Question 40

Factorise:

x⁴ – 625Solution 40

x⁴ – 625

= (x²)² – (25)²

= (x² + 25) (x² – 25)

= (x² + 25) (x² – 5²)

= (x² + 25) (x + 5) (x – 5)

Exercise Ex. 3A

Question 1

Factorise:

9x² + 12xySolution 1

9x² + 12xy = 3x (3x + 4y)Question 2

Factorise:

18x²y – 24xyzSolution 2

18x²y – 24xyz = 6xy (3x – 4z)Question 3

Factorise:

27a³b³ – 45a⁴b²Solution 3

27a³b³ – 45a⁴b² = 9a³b² (3b – 5a)Question 4

Factorise:

2a (x+ y) – 3b (x + y)Solution 4

2a (x + y) – 3b (x + y) = (x + y) (2a – 3b)Question 5

Factorise:

2x (p² + q²) + 4y (p² + q²)Solution 5

2x (p² + q²) + 4y (p² + q²)

= (2x + 4y) (p² + q²)

= 2(x+ 2y) (p² + q²)Question 6

Factorise:

x (a – 5) + y (5 – a)Solution 6

x (a – 5) + y (5 – a)

= x (a – 5) + y (-1) (a – 5)

= (x – y) (a – 5)Question 7

Factorise:

4 (a + b) – 6 (a + b)²Solution 7

4 (a + b) – 6 (a + b)²

= (a + b) [4 – 6 (a + b)]

= 2 (a + b) (2 – 3a – 3b)

= 2 (a + b) (2 – 3a – 3b)Question 8

Factorise:

8 (3a – 2b)² – 10 (3a – 2b)Solution 8

8 (3a – 2b)² – 10 (3a – 2b)

= (3a – 2b) [8(3a – 2b) – 10]

= (3a – 2b) 2[4 (3a – 2b) – 5]

= 2 (3a – 2b) (12 a – 8b – 5)Question 9

Factorise:

x (x + y)³ – 3x²y (x + y)Solution 9

x (x + y)³ – 3x²y (x + y)

= x (x + y) [(x + y)² – 3xy]

= x (x + y) (x² + y² + 2xy – 3xy)

= x (x + y) (x² + y² – xy)Question 10

Factorise:

x³+ 2x² + 5x + 10Solution 10

x³+ 2x² + 5x + 10

= x² (x + 2) + 5 (x + 2)

= (x² + 5) (x + 2)Question 11

Factorise:

x² + xy – 2xz – 2yzSolution 11

x² + xy – 2xz – 2yz

= x (x + y) – 2z (x + y)

= (x+ y) (x – 2z)Question 12

Factorise:

a³b – a²b + 5ab – 5bSolution 12

a³b – a²b + 5ab – 5b

= a²b (a – 1) + 5b (a – 1)

= (a – 1) (a²b + 5b)

= (a – 1) b (a² + 5)

= b (a – 1) (a² + 5)Question 13

Factorise:

8 – 4a – 2a³ + a⁴Solution 13

8 – 4a – 2a³ + a⁴

= 4(2 – a) – a³ (2 – a)

= (2 – a) (4 – a³)Question 14

Factorise:

x³ – 2x²y + 3xy² – 6y³Solution 14

x³ – 2x²y + 3xy² – 6y³

= x² (x – 2y) + 3y² (x – 2y)

= (x – 2y) (x² + 3y²)Question 15

Factorise:

px – 5q + pq – 5xSolution 15

px + pq – 5q – 5x

= p(x + q) – 5 (q + x)

= (x + q) (p – 5)Question 16

Factorise:

x² + y – xy – xSolution 16

x² – xy + y – x

= x (x – y) – 1 (x – y)

= (x – y) (x – 1)Question 17

Factorise:

(3a – 1)² – 6a + 2Solution 17

(3a – 1)² – 6a + 2

= (3a – 1)² – 2 (3a – 1)

= (3a – 1) [(3a – 1) – 2]

= (3a – 1) (3a – 3)

= 3(3a – 1) (a – 1)Question 18

Factorise:

(2x – 3)² – 8x + 12Solution 18

(2x – 3)² – 8x + 12

= (2x – 3)² – 4 (2x – 3)

= (2x – 3) (2x – 3 – 4)

= (2x – 3) (2x – 7)Question 19

Factorise:

a³ + a – 3a² – 3Solution 19

a³ + a – 3a² – 3

= a(a² + 1) – 3 (a² + 1)

= (a – 3) (a² + 1)Question 20

Factorise:

3ax – 6ay – 8by + 4bxSolution 20

3ax – 6ay – 8by + 4bx

= 3a (x – 2y) + 4b (x – 2y)

= (x – 2y) (3a + 4b)Question 21

Factorise:

abx² + a²x + b²x +abSolution 21

abx² + a²x + b²x +ab

= ax (bx + a) + b (bx + a)

= (bx + a) (ax + b)Question 22

Factorise:

x³ – x² + ax + x – a – 1Solution 22

x³ – x² + ax + x – a – 1

= x³ – x² + ax – a + x – 1

= x² (x – 1) + a (x – 1) + 1 (x – 1)

= (x – 1) (x² + a + 1)Question 23

Factorise:

2x + 4y – 8xy – 1Solution 23

2x + 4y – 8xy – 1

= 2x – 1 – 8xy + 4y

= (2x – 1) – 4y (2x – 1)

= (2x – 1) (1 – 4y)Question 24

Factorise:

ab (x² + y²) – xy (a² + b²)Solution 24

ab (x² + y²) – xy (a² + b²)

= abx² + aby² – a²xy – b²xy

= abx² – a²xy + aby² – b²xy

= ax (bx – ay) + by(ay – bx)

= (bx – ay) (ax – by)Question 25

Factorise:

a² + ab (b + 1) + b³Solution 25

a² + ab (b + 1) + b³

= a² + ab² + ab + b³

= a² + ab + ab² + b³

= a (a + b) + b² (a + b)

= (a + b) (a + b²)Question 26

Factorise:

a³ + ab (1 – 2a) – 2b²Solution 26

a³ + ab (1 – 2a) – 2b²

= a³ + ab – 2a²b – 2b²

= a (a² + b) – 2b (a² + b)

= (a² + b) (a – 2b)Question 27

Factorise:

2a² + bc – 2ab – acSolution 27

2a² + bc – 2ab – ac

= 2a² – 2ab – ac + bc

= 2a (a – b) – c (a – b)

= (a – b) (2a – c)Question 28

Factorise:

(ax + by)² + (bx – ay)²Solution 28

(ax + by)² + (bx – ay)²

= a²x² + b²y² + 2abxy + b²x² + a²y² – 2abxy

= a²x² + b²y² + b²x² + a²y²

= a²x² + b²x² + b²y² + a²y²

= x² (a² + b²) + y²(a² + b²)

= (a² + b²) (x² + y²)Question 29

Factorise:

a (a + b – c) – bcSolution 29

a (a + b – c) – bc

= a² + ab – ac – bc

= a(a + b) – c (a + b)

= (a – c) (a + b)Question 30

Factorise:

a(a – 2b – c) + 2bcSolution 30

a(a – 2b – c) + 2bc

= a² – 2ab – ac + 2bc

= a (a – 2b) – c (a – 2b)

= (a – 2b) (a – c)Question 31

Factorise:

a²x² + (ax² + 1)x + aSolution 31

a²x² + (ax² + 1)x + a

= a²x² + ax³ + x + a

= ax² (a + x) + 1 (x + a)

= (ax² + 1) (a + x)Question 32

Factorise:

ab (x² + 1) + x (a² + b²)Solution 32

ab (x² + 1) + x (a² + b²)

= abx² + ab + a²x + b²x

= abx² + a²x + ab + b²x

= ax (bx + a) + b (bx + a)

= (bx + a) (ax + b)Question 33

Factorise:

x² – (a + b) x+ abSolution 33

x² – (a + b) x+ ab

= x² – ax – bx + ab

= x (x – a) – b(x – a)

= (x – a) (x – b)Question 34

Factorise:

Solution 34